Phương pháp giải:

Đặt \(t=\sqrt{2x+1}\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t=\sqrt{2x+1}\Leftrightarrow {{t}^{2}}=2x+1\Leftrightarrow 2tdt=2dx\Leftrightarrow tdt=dx\).

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Leftrightarrow t = 1\\x = 4 \Leftrightarrow t = 3\end{array} \right.\), khi đó

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^4 {\frac{1}{{1 + 2\sqrt {2x + 1} }}dx}  = \int\limits_1^3 {\frac{{tdt}}{{1 + 2t}}}  = \frac{1}{2}\int\limits_1^3 {\left( {1 - \frac{1}{{1 + 2t}}} \right)dt} \\\,\,\, = \frac{1}{2}\left. {\left( {t - \frac{1}{2}\ln \left| {1 + 2t} \right|} \right)} \right|_1^3 = \frac{1}{2}\left( {3 - \frac{1}{2}\ln 7 - 1 + \frac{1}{2}\ln 3} \right) = \frac{1}{2}\left( {2 - \frac{1}{2}\ln \frac{7}{3}} \right) = 1 - \frac{1}{4}\ln \frac{7}{3}\end{array}\)

Chọn D.