Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức tam giác, do vai trò của a, b, c như nhau nên ta chỉ xét BPT : \(f\left( a \right)+f\left( b \right)>f\left( c \right)\)

Đưa về dạng \(m>f\left( a;b;c \right)\,\,\forall a,b,c\in \left[ 1;3 \right]\Leftrightarrow m>\underset{a,b,c\in \left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( a;b;c \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( c \right)\) là ba cạnh của một tam giác nên hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{align} & f\left( a \right)+f\left( b \right)>f\left( c \right) \\ & f\left( b \right)+f\left( c \right)<f\left( a \right) \\ & f\left( a \right)+f\left( c \right)>f\left( b \right) \\ \end{align} \right.\) thỏa mãn với mọi \(a,b,c\in \left[ 1;3 \right]\)

Vì vai trò của a, b, c là như nhau nên ta xét bất phương trình

\(f\left( a \right)+f\left( b \right)>f\left( c \right)\)

\(\begin{align} & {{a}^{3}}-3{{a}^{2}}+m+{{b}^{3}}-3{{b}^{2}}+m>{{c}^{3}}-3{{c}^{2}}+m\,\,\,\,\,\,\forall a,b,c\in \left( 1;3 \right] \\ & \Leftrightarrow m>\left( {{c}^{3}}-3{{c}^{2}} \right)-\left( {{a}^{3}}-3{{a}^{2}} \right)-\left( {{b}^{3}}-3{{b}^{2}} \right)\,\,\,\,\forall a,b,c\in \left[ 1;3 \right] \\ & \Leftrightarrow m>\underset{a,b,c\in \left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }}\,\left( \left( {{c}^{3}}-3{{c}^{2}} \right)-\left( {{a}^{3}}-3{{a}^{2}} \right)-\left( {{b}^{3}}-3{{b}^{2}} \right) \right] \\ \end{align}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}\) trên \(\left[ 1;3 \right]\)

ta có :

\(\begin{array}{l}
f'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 0 \notin \left[ {1;3} \right]\\
t = 2 \in \left[ {1;3} \right]
\end{array} \right.\\
f\left( 2 \right) = - 4\\
f\left( 1 \right) = - 2\\
f\left( 3 \right) = 0\\
\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( t \right) = 0;\,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( t \right) = - 4
\end{array}\)

Do đó ta có : \(m>0+4+4=8\)

Kết hợp điều kiện m nguyên và m < 10 ta có m = 9.

Chọn C.