Phương pháp giải:

+) Gọi khoảng cách từ điểm đặt thang ở dưới mặt đất đến chân tường là x.

+) Biểu diễn chiều dài cái thang theo biến x.

+) Khảo sát hàm số vừa tìm được, tìm x để hàm số đó đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó ta được chiều dài nhỏ nhất của cái thang.

Lời giải chi tiết:

Gọi khoảng cách từ điểm đặt thang đến chân tường là \(x\ \left( x>0 \right)\) như trong hình vẽ.

Chiều dài cái thang là AD.

Gọi góc tạo bởi cái thang và mặt đất là \(\alpha .\)

Khi đó ta có: \(\tan \alpha =\frac{BC}{AC}=\frac{DE}{AE}\Rightarrow \frac{2}{x}=\frac{DE}{x+2}\) \(\Rightarrow DE=\frac{2\left( x+2 \right)}{x}.\)

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác ADE vuông tại E ta được:

\(\begin{align} & A{{D}^{2}}=A{{E}^{2}}+D{{E}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2\left( x+2 \right)}{x} \right)}^{2}} \\ & \ \ \ \ \ \ \ =\frac{{{x}^{2}}{{\left( x+2 \right)}^{2}}+4{{\left( x+2 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}} \\ & \ \ \ \ \ \ \ =\frac{{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}+16x+16}{{{x}^{2}}}. \\ \end{align}\)

Đặt \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}+16x+16}{{{x}^{2}}}.\)

Chiều cái thang ngắn nhất \(\Rightarrow A{{D}^{2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất \(\Rightarrow \) hàm số \(y=f\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có: \(f'\left( x \right)=\frac{2{{x}^{5}}+4{{x}^{4}}-16{{x}^{2}}-32x}{{{x}^{4}}}=\frac{2{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-16x-32}{{{x}^{3}}}.\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2{x^4} + 4{x^3} - 16x - 32 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {2{x^3} + 8{x^2} + 16x + 16} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\;\;\left( {tm} \right)\\
x = - 2\;\;\left( {ktm} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy với \(x=2\) thì chiều dài cái thang ngắn nhất: \(A{{D}^{2}}=f\left( x \right)=32\Rightarrow AD=\sqrt{32}=4\sqrt{2}m.\)

Chọn B.