Phương pháp giải:

+) Tính \({y}'\), đánh giá \({y}'\) trên đoạn cần xét để suy ra được tính đơn điệu của hàm số trên đoạn đó.

+) Xác định giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất theo yêu cầu bài toán.

Lời giải chi tiết:

\(y=\frac{x+2{{m}^{2}}-m}{x-3}\Rightarrow {y}'=\frac{-3-2{{m}^{2}}+m}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}<0\)

\(\Rightarrow \) Hàm số liên tục và nghịch biến trên \(\left[ 0;1 \right]\).

\(\Rightarrow {{y}_{\min }}=y\left( 1 \right)=\frac{2{{m}^{2}}-m+1}{-2}\)

Theo giả thuyết \({{y}_{\min }}=-2\Leftrightarrow \frac{2{{m}^{2}}-m+1}{-2}=-2\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-m+1=4\)

\( \Leftrightarrow 2{m^2} - m - 3 - 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m = \frac{3}{2}\end{array} \right.\).

Chọn C.