Phương pháp giải:

+) Để hàm số đồng biến trên \(\left( 0;4 \right)\) thì \(y'\ge 0\,\,\forall x\in \left( 0;4 \right)\).

Cô lập m, đưa về dạng \(f\left( x \right)\ge m\,\,\forall x\in \left( 0;4 \right)\)

+) Để \(f\left( x \right)\ge m\,\,\forall x\in \left( 0;4 \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left( 0;4 \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\), đưa về bài toán tìm GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left( 0;4 \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(y'=3{{x}^{2}}-2mx-\left( m-6 \right)\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left( 0;4 \right)\Leftrightarrow y'\ge 0\,\,\forall x\in \left( 0;4 \right)\) và \(y'=0\) tại một số giá trị hữu hạn.

\(\begin{align} & \ \ \ \ 3{{x}^{2}}-2mx-\left( m-6 \right)\ge 0\,\,\forall x\in \left( 0;4 \right) \\ & \Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+6\ge m\left( 2x+1 \right) \\ \end{align}\)

Với mọi \(x\in \left( 0;4 \right)\) ta có \(2x+1>0\) nên \(f\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}+6}{2x+1}\ge m\,\,\forall x\in \left( 0;4 \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left( 0;4 \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}+6}{2x+1}\) trên \(\left( 0;4 \right)\) ta có :

\(f'\left( x \right)=\frac{6x\left( 2x+1 \right)-2\left( 3{{x}^{2}}+6 \right)}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}=\frac{6{{x}^{2}}+6x-12}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1\,\in \left( 0;4 \right) \\ & x=-2\notin \left( 0;4 \right) \\ \end{align} \right.\)

BBT :

Dựa vào BBT ta thấy \(\underset{\left( 0;4 \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=3\Leftrightarrow m\le 3\)

Khi m = 3 ta có : \(y'=3{{x}^{2}}-6x+3=3{{\left( x-1 \right)}^{2}}\ge 0\,\,\,\forall x\in \left( 0;4 \right)\) và \(y'=0\Leftrightarrow x=1\).

Vậy với \(m\le 3\) thì hàm số đồng biến trên \(\left( 0;4 \right)\).

Chọn C.