Phương pháp giải:

Tìm tọa độ điểm B và C Viết phương trình đường tròn qua 3 điểm A, B, C

Lời giải chi tiết:

Điểm B thuộc \({{d}_{1}}:x+y+5=0\) nên ta giả sử \(B(b;-b-5)\)

Điểm C thuộc \({{d}_{2}}:x+2y-7=0\)nên ta giả sử \(C(7-2c,c)\)

Vì tam giác ABC có \(A(2;3)\), trọng tâm là G(2; 0) nên ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}2 + b + 7 - 2c = 6\\3 - b - 5 + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b - 2c =  - 3\\ - b + c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 1\\b =  - 1\end{array} \right.\)

Suy ra \(B(-1;-4)\) và \(C(5;1)\)

Giả sử phương trình đường tròn cần lập có dạng \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2ax+2by+c=0\). Vì đường tròn qua 3 điểm  \(A(2;3)\), \(B(-1;-4)\) và \(C(5;1)\) nên ta có hệ phương trình:

 \(\left\{ \begin{array}{l}4a + 6b + c =  - 13\\ - 2a - 8b + c =  - 17\\10a + 2b + c =  - 26\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 83}}{{54}}\\b = \frac{{17}}{{18}}\\c =  - \frac{{338}}{{27}}\end{array} \right.\)

Khi đó ta có phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: \({x^2} + {y^2} - \frac{{83}}{{27}}x + \frac{{17}}{9}y - \frac{{338}}{{27}} = 0\)

Chọn A.