Phương pháp giải:

\(d\) là tiếp tuyến của đường tròn \((C)\) có tâm Ibán kính \(R\)  khi ta có khoảng cách từ I đến đường thẳng \(d\) bằng \(R\).

Lời giải chi tiết:

\((C):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+4y-4=0\) có tâm \(I\left( 1;-2 \right)\) và bán kính \(R=\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+4}=3\)

Nếu d có phương trình \(x=1\) ta có \(d\left( I;d \right)=\left| 1-1 \right|=0\ne R\). Loại A  

Nếu d có phương trình \(x+y-2=0\) thì ta có \(d\left( I;d \right)=\frac{\left| 1-2-2 \right|}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}\ne R\). Loại B

Nếu d có phương trình \(2x+y-1=0\) thì ta có \(d\left( I;d \right)=\frac{\left| 2.1-2-1 \right|}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\ne R\). Loại C

Nếu d có phương trình \(y=1\) ta có \(d\left( I;R \right)=\left| 1-\left( -2 \right) \right|=3=R\). Vậy d là tiếp tuyến của (C )

Chọn D.