Phương pháp giải:

Tìm điểm \(I({{x}_{I}};{{y}_{I}})\) nằm trên đường thẳng \(x+y+2=0\) và thỏa mãn điều kiện \(IA=IB\). Phương trình đường tròn (C) có tâm  \(I({{x}_{I}};{{y}_{I}})\) và bán kính \(R=IA=IB\).

Lời giải chi tiết:

Giả sử điểm \(I({{x}_{I}};{{y}_{I}})\) là tâm của đường tròn (C). Vì I nằm trên đường thẳng \(x+y+2=0\) nên ta có \({{x}_{I}}+{{y}_{I}}+2=0\)   (1)

Vì đường tròn (C) đi qua hai điểm \(A\left( 0;1 \right),\,\,B\left( 1;0 \right)\) nên ta có \(IA=IB\). Điều này tương đương với

\(I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}}\)  hay

\(\begin{array}{l}{\left( {{x_I}} \right)^2} + {\left( {1 - {y_I}} \right)^2} = {\left( {1 - {x_I}} \right)^2} + {\left( {{y_I}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow x_I^2 + y_I^2 - 2{y_I} + 1 = x_I^2 - 2{x_I} + 1 + y_I^2\\ \Leftrightarrow {x_I} = {y_I}\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra \({{x}_{I}}={{y}_{I}}=-2\). Suy ra \(I\left( -1;-1 \right)\).

Mặt khác ta có \(R=IA=\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{\left( -1-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{5}\) 

Vậy (C) có dạng \({{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=5\)

Chọn D