Phương pháp giải:

- Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

- Điều kiện để đồ thị hàm số chỉ có duy nhất 1 tiệm cận là nó không có tiệm cận đứng, hay mẫu thức vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm duy nhất là nghiệm đơn \(x=2\).

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{\left( {{x}^{2}}-4mx+4 \right)\left( m{{x}^{2}}-2x+4 \right)}=0\) nên \(y=0\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Do đó để đồ thị hàm số chỉ có 1 đường tiệm cận thì nó không có tiệm cận đứng.

Khi đó phương trình \(\left( {{x}^{2}}-4mx+4 \right)\left( m{{x}^{2}}-2x+4 \right)=0\) vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất \(x=2\) (nghiệm đơn).

Trường hợp 1: Phương trình \(\left( {{x}^{2}}-4mx+4 \right)\left( m{{x}^{2}}-2x+4 \right)=0\) vô nghiệm.

\(\Leftrightarrow \) cả hai phương trình \({{x}^{2}}-4mx+4=0\) và \(m{{x}^{2}}-2x+4=0\) đều vô nghiệm.

+) Phương trình \({{x}^{2}}-4mx+4=0\) vô nghiệm \(\Leftrightarrow {{\Delta }_{1}}'=4{{m}^{2}}-4<0\Leftrightarrow -1<m<1\).

+) Phương trình \(m{{x}^{2}}-2x+4=0\) vô nghiệm \(\Leftrightarrow {{\Delta }_{2}}'=1-4m<0\Leftrightarrow m>\frac{1}{4}\).

Kết hợp hai điều kiện trên ta được \(\frac{1}{4}<m<1\).

Do đó trong trường hợp này không có số nguyên nào thỏa mãn.

Trường hợp 2: Phương trình \(\left( {{x}^{2}}-4mx+4 \right)\left( m{{x}^{2}}-2x+4 \right)=0\) có 1 nghiệm duy nhất là nghiệm đơn \(x=2\).

Với \(x=2\) thì \(\left( {{2}^{2}}-4m.2+4 \right)\left( m{{.2}^{2}}-2.2+4 \right)=0\Leftrightarrow \left( 8-8m \right).4m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=0 \\  & m=1 \\ \end{align} \right.\).

+) Nếu \(m=0\) thì \(y=\frac{x-2}{\left( {{x}^{2}}+4 \right)\left( -2x+4 \right)}=-\frac{1}{2\left( {{x}^{2}}+4 \right)}\)  nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và chỉ có 1 tiệm cận duy nhất (thỏa mãn).

+) Nếu \(m=1\) thì \(y=\frac{x-2}{\left( {{x}^{2}}-4x+4 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+4 \right)}=-\frac{1}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)}\) nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng \(x=2\) và một tiệm cận ngang \(y=0\) (loại).

Vậy \(m=0\) và có 1 giá trị nguyên duy nhất của \(m\) thỏa bài toán.

Chọn A.