Phương pháp giải:

+) Hàm đa thức, phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục trên các tập xác định của chúng.

+) Xét tính liên tục của hàm số tại \(x =  \pm {\pi  \over 2}\)

+) Để hàm số liên tục tại \(x =  \pm {\pi  \over 2}\)  thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi  \over 2}} f\left( x \right) = f\left( {{\pi  \over 2}} \right);\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {\pi  \over 2}} f\left( x \right) = f\left( { - {\pi  \over 2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  \sin x\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| \le {\pi  \over 2} \hfill \cr   ax + b\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| > {\pi  \over 2} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  \sin x\,\,\,\,\,\,\,khi\,\, - {\pi  \over 2} \le x \le {\pi  \over 2} \hfill \cr   ax + b\,\,\,\,khi\,\,\left[ \matrix{  x > {\pi  \over 2} \hfill \cr   x <  - {\pi  \over 2} \hfill \cr}  \right. \hfill \cr}  \right.\)

Ta có hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - {\pi  \over 2}} \right) \cup \left( { - {\pi  \over 2};{\pi  \over 2}} \right) \cup \left( {{\pi  \over 2}; + \infty } \right)\)

Để hàm số liên tục trên R thì hàm số phải liên tục tại các điểm \(x =  \pm {\pi  \over 2} \Rightarrow \left\{ \matrix{  \mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi  \over 2}} f\left( x \right) = f\left( {{\pi  \over 2}} \right) \hfill \cr   \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {\pi  \over 2}} f\left( x \right) = f\left( { - {\pi  \over 2}} \right) \hfill \cr}  \right.\)

Ta có

\(\eqalign{  & \left. \matrix{  \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{\pi  \over 2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{\pi  \over 2}} \right)}^ + }} \left( {ax + b} \right) = a{\pi  \over 2} + b \hfill \cr   \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{\pi  \over 2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{\pi  \over 2}} \right)}^ - }} \left( {\sin x} \right) = \sin {\pi  \over 2} = 1 \hfill \cr   f\left( {{\pi  \over 2}} \right) = \sin {\pi  \over 2} = 1 \hfill \cr}  \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{\pi  \over 2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{\pi  \over 2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = f\left( {{\pi  \over 2}} \right) \Leftrightarrow a{\pi  \over 2} + b = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)  \cr   & \left. \matrix{  \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {\pi  \over 2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {\pi  \over 2}} \right)}^ + }} \left( {\sin x} \right) = \sin \left( { - {\pi  \over 2}} \right) =  - 1 \hfill \cr   \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {\pi  \over 2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {\pi  \over 2}} \right)}^ - }} \left( {ax + b} \right) =  - a{\pi  \over 2} + b \hfill \cr   f\left( { - {\pi  \over 2}} \right) = \sin {{ - \pi } \over 2} =  - 1 \hfill \cr}  \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {\pi  \over 2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {\pi  \over 2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = f\left( { - {\pi  \over 2}} \right) \Leftrightarrow  - a{\pi  \over 2} + b =  - 1\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \cr} \) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \matrix{  a{\pi  \over 2} + b = 1 \hfill \cr    - a{\pi  \over 2} + b =  - 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  a = {2 \over \pi } \hfill \cr   b = 0 \hfill \cr}  \right.\)

Chọn D.