Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng – hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải quyết yêu cầu của bài toán

Lời giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của \(BC \Rightarrow AI\) là đường trung trực của BC.

Gọi K là trung điểm của MB, vẽ đường thẳng qua K và vuông góc với MB cắt AI tại H.

Suy ra KH là đường trung trực của MB và H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBC. Do đó \(SH \bot \left( {ABCD} \right).\)

Ta có HB là hình chiếu vuông góc của SB trên mp(ABC).

Suy ra \(\widehat {\left( {SB;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SB;BH} \right)} = \widehat {SBH} = {60^0}.\)

Tam giác AKH vuông cân tại K\( \Rightarrow \,\,HK = AK = \frac{3}{4}AB = \frac{{3a}}{4}.\)

Tam giác BKH vuông tại K có \(BH = \sqrt {B{K^2} + H{K^2}}  = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{{16}} + \frac{{9{a^2}}}{{16}}}  = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}.\)

Tam giác SBH vuông tại H, có \(\cos \widehat {SBH} = \frac{{BH}}{{SB}} \Rightarrow SB = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}:\cos {60^0} = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}.\)

Chọn A.