Phương pháp giải:

\({{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}=BO.{{S}_{A'B'C'D'}}\)

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác ABD có

\(\cos \widehat{BAD}=\frac{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}-B{{D}^{2}}}{2AB.AD}=\frac{3{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}-9{{a}^{2}}}{2.3{{a}^{2}}}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{BAD}={{120}^{0}}\Rightarrow \widehat{A'B'C'}={{60}^{0}}\)

\(\Rightarrow \Delta A'B'C'\) đều cạnh \(a\sqrt{3}\)

Gọi E là trung điểm của A’B’ \(\Rightarrow C'E\bot A'B'\) và \(C'E=\frac{a\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}=\frac{3a}{2}\), gọi F là trung điểm của A’E, O là tâm hình thoi A’B’C’D’.

OF là đường trung bình của tam giác A’C’E ta có OF // C’E và \(OF=\frac{1}{2}C'E=\frac{3a}{4}\Rightarrow OF\bot A'B'\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}A'B' \bot OF\\A'B' \bot BO\end{array} \right. \Rightarrow A'B' \bot \left( {BOF} \right) \Rightarrow A'B' \bot BF\)

\(\begin{array}{l}\widehat {\left( {\left( {ABCD} \right);\left( {C{\rm{DD}}'C'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {\left( {A'B'C'D'} \right);\left( {ABB'A'} \right)} \right)}\\\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'B'C'D'} \right) \cap \left( {ABB'A'} \right) = A'B'\\\left( {A'B'C'D'} \right) \supset OF \bot A'B'\\\left( {ABB'A'} \right) \supset BF \bot A'B'\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {A'B'C'D'} \right);\left( {ABB'A'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {OF;BF} \right)} = \widehat {BFO}\\\cos \widehat {BFO} = \frac{{OF}}{{BF}} = \frac{{\sqrt {21} }}{7} \Rightarrow BF = \frac{7}{{\sqrt {21} }}OF = \frac{7}{{\sqrt {21} }}.\frac{{3a}}{4} = \frac{{\sqrt {21} a}}{4}\\ \Rightarrow BO = \sqrt {B{F^2} - O{F^2}}  = \sqrt {\frac{{21{a^2}}}{{16}} - \frac{{9{a^2}}}{{16}}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{S_{A'B'C'}} = \frac{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow {S_{A'B'C'D'}} = 2{S_{A'B'C'}} = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = BO.{S_{A'B'C'D'}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{9{a^3}}}{4}\end{array}\)

Chọn C.