Phương pháp giải:

Từ BBT xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, giới hạn và tiệm cận để tìm ra đáp án.

Lời giải chi tiết:

Từ BBT ta có hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định và\(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y=1;\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,y=\infty \) nên  đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y=1\), tiệm cận đứng \(x=1\).

+) Hàm số \(y=\frac{x-2}{x-1}\) có \({y}'=\frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}>0\,\,\forall x\ne 1\), có \(y=1\) là tiệm cận ngang và \(x=1\) là tiệm cận đứng.

Chọn A.