Phương pháp giải:

+) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn theo cách làm đã nêu ở câu 13.

+) Biện luận theo tham số m  (nếu cần) để có đầy đủ các trường hợp.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}\),\(\left[ 0;1 \right]\in D\).

Ta có \({f}'\left( x \right)=\frac{{{m}^{2}}+m+1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\frac{{{\left( m+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}>0,\forall m\) nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

\(\Rightarrow f\left( 0 \right)<f\left( 1 \right)\) nên \(\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=f\left( 0 \right)=-{{m}^{2}}-m\), theo bài ra ta có \( - {m^2} - m =  - 2 \Leftrightarrow {m^2} + m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 2\end{array} \right.\).

Chọn D.