Phương pháp giải:

+) Xác định góc giữa SC và mặt đáy là góc \(\widehat{SCH}\)

+) Tính đường cao SH.

+) Tính diện tích đáy ABCD.

+) Tính thể tích \(V=\frac{1}{3}Sh\)

Lời giải chi tiết:

Tam giác ABD đều cạnh a nên BD = a \(\Rightarrow HI=\frac{a}{4}\)  và \(AI=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AI=IC=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Xét tam giác vuông IHC có \(HC=\sqrt{I{{C}^{2}}+I{{H}^{2}}}=\sqrt{\frac{3{{a}^{2}}}{4}+\frac{{{a}^{2}}}{16}}=\frac{a\sqrt{13}}{4}\)

\(SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow \widehat{\left( SC;\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SC;HC \right)}=\widehat{SCH}={{45}^{0}}.\)

\(\Rightarrow \Delta SHC\) vuông cân tại H \(\Rightarrow SH=HC=\frac{a\sqrt{13}}{4}\)

\({{S}_{ABCD}}=\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{2}a\sqrt{3}.a=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}\)

Vậy \({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{13}}{4}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{39}}{24}\)

Chọn B.