Câu hỏi
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật \(AB=3,AD=2\). Mặt bên \(\left( SAB \right)\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích \(V\) của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
- A \(V = \frac{{10\pi }}{3}\)
- B \(V=\frac{16\pi }{3}\)
- C \(V=\frac{20\pi }{3}\)
- D \(V=\frac{32\pi }{3}\)
Phương pháp giải:
- Dựng tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng cách dựng các trục đường tròn của đáy \(ABCD\) và mặt bên \(SAB\)
- Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng định lý Pi – ta – go.
- Thể tích khối cầu được tính bởi công thức \(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB,O=AC\cap BD\Rightarrow SM\bot AB;OM\bot AB\)
\(\Rightarrow \widehat{SMO}={{90}^{0}}\Rightarrow SM\bot \left( ABCD \right)\).
Gọi \(N\) là trọng tâm tam giác \(SAB\).
Qua \(O,N\) kẻ \(d\bot \left( ABCD \right),d'\bot \left( SAB \right)\), chúng cắt nhau ở \(K\).
Vì \(d,d'\) là trục các đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật \(ABCD\) và tam giác \(SAB\) nên \(K\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\).
Ta có:
\(SN=\frac{2}{3}SM=\frac{2}{3}.\frac{3\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\)
\(KN=OM=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}.2=1\)
\(\Rightarrow SK=\sqrt{S{{N}^{2}}+N{{K}^{2}}}=\sqrt{3+1}=2\Rightarrow R=2\).
Vậy \(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi {{.2}^{3}}=\frac{32\pi }{3}\)
Chọn D.