Phương pháp giải:

Gọi O, I lần lượt là trung điểm của AC, SC.

Do tam giác ABC và tam giác ADC vuông lần lượt tại B, D nên tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD là O.

Dễ dàng chứng minh được I là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Ta xác định độ dài bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD và thay vào công thức tính diện tích mặt cầu:\({S_{mc}} = 4\pi {R^2}\)

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}
SC \cap (ABCD) = C\\
\left( {\widehat {SC,(ABCD)}} \right) = {60^0}
\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {SCA} = {60^0}\)

Tam giác ABC và tam giác ADC vuông lần lượt tại B, D, gọi O là trung điểm của AC => O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD    (1)

IO là đường trung bình của tam giác SAC => IO // SA.

Mà \(SA \bot (ABCD) \Rightarrow IO \bot (ABCD)\)      (2)

Từ (1), (2) suy ra IA = IB = IC = ID.         (3)

Do tam giác SAC vuông tại A, I là trung điểm SC \( \Rightarrow IS = IC = IA\)          (4)

Từ (3), (4) suy ra I là tâm đường trong ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Ta có \({S_{ACD}} = \dfrac{1}{2}AD.CD = \dfrac{1}{2}AD.a = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow CD = a\sqrt 3 \)

Áp dụng định lý Pytago: \(A{C^2} = A{D^2} + C{D^2} = {\left( {a\sqrt 3 } \right)^2} + {a^2} = 4{a^2} \Rightarrow AC = 2a.\)

Tam giác SAC vuông tại A, \(\widehat {SCA} = {60^0}\) \( \Rightarrow SC = \dfrac{{AC}}{{\cos C}} = \dfrac{{2a}}{{\cos {{60}^0}}} = \dfrac{{2a}}{{\dfrac{1}{2}}} = 4a\)

Diện tích mặt cầu: \({S_{mc}} = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\dfrac{{SC}}{2}} \right)^2} = 4\pi {(2a)^2} = 16\pi {a^2}\)

Chọn: A.