Phương pháp giải:

+) Xác định tọa độ điểm F là điểm đối xứng với N qua I, \(\left\{ \begin{array}{l}{x_F} = 2{x_I} - {x_N}\\{y_F} = 2{x_I} - {y_N}\end{array} \right.\)

+) Viết phương trình đường thẳng AB đi qua M và nhận \(\overrightarrow {MF} \) là 1 VTPT, tham số

hóa tọa độ điểm A và B (ẩn a và b).

+) Sử dụng tính chất của hình thoi \(IA \bot IB \Rightarrow \overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB}  = 0\) và giả thiết \(AC = 2BD \Rightarrow IA = 2IB \Rightarrow I{A^2} = 4I{B^2}\)

+) Giải hệ phương trình tìm a và b.  

Lời giải chi tiết:

Gọi F là điểm đối xứng với N qua I \( \Rightarrow F\left( {2{x_I} - {x_N};2{y_I} - {y_N}} \right) = \left( {4; - 5} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MF}  = \left( {4;\frac{{ - 16}}{3}} \right) = \frac{4}{3}\left( {3; - 4} \right)\)

Đường thẳng AB đi qua M và nhận \(\overrightarrow n \left( {4;3} \right)\)  là 1 VTPT

\(\begin{array}{l} \Rightarrow pt\left( {AB} \right):4\left( {x - 0} \right) + 3\left( {y - \frac{1}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 3y - 1 = 0\\A \in \left( {AB} \right) \Rightarrow A\left( {a;\frac{{1 - 4a}}{3}} \right);\,\,B \in \left( {AB} \right) \Rightarrow B\left( {b;\frac{{1 - 4b}}{3}} \right)\,\,\,\,\,\left( {DK:b > 0} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {IA}  = \left( {a - 2;\frac{{ - 4a - 2}}{3}} \right);\overrightarrow {IB}  = \left( {b - 2;\frac{{ - 4b - 2}}{3}} \right)\\+ )\,\,\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB}  = 0 \Rightarrow \left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right) + \frac{{\left( {4a + 2} \right)\left( {4b + 2} \right)}}{9} = 0 \Leftrightarrow 9ab - 18a - 18b + 36 + 16ab + 8a + 8b + 4 = 0\\\Leftrightarrow 25ab - 10a - 10b + 40 = 0 \Leftrightarrow \left( {5a - 2} \right)\left( {5b - 2} \right) + 36 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\ + )\,\,IA = 2IB \Rightarrow I{A^2} = 4I{B^2} \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {\frac{{4a + 2}}{3}} \right)^2} = 4{\left( {b - 2} \right)^2} + 4{\left( {\frac{{4b + 2}}{3}} \right)^2}\\\Leftrightarrow 9{a^2} - 36a + 36 + 16{a^2} + 16a + 4 = 36{b^2} - 144b + 144 + 64{b^2} + 64b + 16\\ \Leftrightarrow 25{a^2} - 20a + 40 = 100{b^2} - 80b + 160\\ \Leftrightarrow {\left( {5a - 2} \right)^2} + 36 = {\left( {10b - 4} \right)^2} + 144\\ \Leftrightarrow {\left( {5a - 2} \right)^2} - 4{\left( {5b - 2} \right)^2} = 108\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5a - 2\\y = 5b - 2\end{array} \right.\). Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy + 36 = 0\\{x^2} - 4{y^2} = 108\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ - 36}}{x}\\{x^2} - 4{\left( {\frac{{ - 36}}{x}} \right)^2} = 108\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow {x^4} - 5184 = 108{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = 144 \Leftrightarrow x =  \pm 12\)

 Với \(x = 12 \Rightarrow y =  - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5a - 2 = 12\\5b - 2 =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{14}}{5}\\b =  - \frac{1}{5}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Với \(x =  - 12 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}5a - 2 =  - 12\\5b - 2 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {1; - 1} \right)\)

Vậy \(B\left( {1; - 1} \right)\)

Chọn B.