Phương pháp giải:

+) Tham số hóa tọa độ điểm A.

+) B, D thuộc Ox nên A và C đối xứng nhau qua Ox. Từ đó suy ra tọa độ điểm C.

+) Xác định tâm của hình vuông ABCD là trung điểm của AC.

+) Gọi B(a;0), suy ra tọa độ điểm D và sử dụng tính chất \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0 \Rightarrow \) giá trị của a.

+) Tính diện tích hình vuông ABCD = \(A{B^2}\)

Lời giải chi tiết:

\(A \in {d_1} \Rightarrow A\left( {t;t} \right)\). Vì B, D thuộc trục Ox nên A và C đối xứng nhau qua Ox \( \Rightarrow C\left( {t; - t} \right)\). Mà \(C \in {d_2} \Rightarrow 2t - t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow A\left( {1;1} \right),C\left( {1; - 1} \right)\)

Gọi I là tâm hình vuông ABCD \( \Rightarrow I\) là trung điểm của AC \( \Rightarrow I\left( {1;0} \right)\)

Gọi \(B\left( {a;0} \right) \in Ox\), I là trung điểm của BD \( \Rightarrow D\left( {2 - a;0} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {a - 1; - 1} \right);\overrightarrow {AD}  = \left( {1 - a; - 1} \right)\)

Vì ABCD là hình vuông nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0 \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {1 - a} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow  - {a^2} + 2a - 1 + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = 2\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}+ )\,\,a = 0 \Rightarrow B\left( {0;0} \right);D\left( {2;0} \right) \Rightarrow AB = \sqrt 2  \Rightarrow {S_{ABCD}} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 2\\+ )\,\,a = 2 \Rightarrow B\left( {2;0} \right);D\left( {0;0} \right) \Rightarrow AB = \sqrt 2  \Rightarrow {S_{ABCD}} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 2\end{array}\)

Vậy \({S_{ABCD}} = 2\)

Chọn A.