Lời giải chi tiết:

Đặt:  BC = x (m)

\(AC = AB + BC = 500 + {x^{}}\left( m \right)\)

Xét tam giác vuông ACD, ta có:

\(\tan CAD = \dfrac{{CD}}{{AC}} \Rightarrow CD = AC.\tan CAD \Leftrightarrow CD = \left( {500 + x} \right).tan{34^0}\)   (1)

Xét tam giác vuông BCD, ta có:

\(\tan CBD = \dfrac{{CD}}{{BC}} \Rightarrow CD = BC.\tan CBD \Leftrightarrow CD = x.tan{38^0}\)     (2)

Từ (1) và (2)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \left( {500 + x} \right).tan{34^0} = x.t{\rm{an3}}{8^0}\\
\Leftrightarrow 500.\tan {34^0} + x.tan{34^0} = x.\tan {38^0}\\
\Leftrightarrow x.\tan {38^0} - x.tan{34^0} = 500.\tan {34^0}\\
\Leftrightarrow x.\left( {tan{{38}^0} - tan{{34}^0}} \right) = 500.\tan {34^0}\\
\Leftrightarrow x = \dfrac{{500.\tan {{34}^0}}}{{tan{{38}^0} - tan{{34}^0}}} = 3158,5m
\end{array}\)

Chiều cao của ngọn núi là: \(CD = 3158,5.\tan {38^0} = 2467,{7^{}}\left( m \right)\)

Vậy: Chiều cao của ngọn núi là 2467,7 mét.