Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện để hàm đa thức bậc ba có 2 cực trị: phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

+) Tìm các điểm cực trị A, B của hàm số. Viết phương trình đường thẳng AB.

+) Tính AB, \(d\left( I;AB \right)\).

+) Sử dụng công thức tính diện tích tam giác IAB: \({{S}_{\Delta IAB}}=\frac{1}{2}d\left( I;AB \right).AB\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y'=3{{x}^{2}}-3m=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=m\). Để hàm số có hai điểm cực trị thì m > 0. Khi đó hai điểm cực trị là

\(A\left( -\sqrt{m};2m\sqrt{m}+1 \right);\,\,B\left( \sqrt{m};-2m\sqrt{m}+1 \right)\Rightarrow AB=\sqrt{{{\left( 2\sqrt{m} \right)}^{2}}+{{\left( -4m\sqrt{m} \right)}^{2}}}=\sqrt{4m+16{{m}^{3}}}=2\sqrt{m\left( 1+4{{m}^{2}} \right)}\)

Ta có \(y={{x}^{3}}-3mx+1=\frac{1}{3}x\left( 3{{x}^{2}}-3m \right)-2mx+1=\frac{1}{3}xy'-2mx+1\)

\(\Rightarrow {{y}_{A}}=\frac{1}{3}{{x}_{A}}y{{'}_{A}}-2m{{x}_{A}}+1=-2m{{x}_{A}}+1;\,\,{{y}_{B}}=\frac{1}{3}{{x}_{B}}y{{'}_{B}}-2m{{x}_{B}}+1=-2m{{x}_{B}}+1\Rightarrow \) Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A và B có phương trình \(y=-2mx+1\Leftrightarrow 2mx+y-1=0\)

\(\Rightarrow d\left( I;AB \right)=\frac{\left| 2m.2+1-1 \right|}{\sqrt{4{{m}^{2}}+1}}=\frac{4m}{\sqrt{4{{m}^{2}}+1}}\) (vì m > 0).

\(\Rightarrow {{S}_{\Delta IAB}}=\frac{1}{2}d\left( I;AB \right).AB=\frac{1}{2}\frac{4m}{\sqrt{4{{m}^{2}}+1}}.2\sqrt{m\left( 1+4{{m}^{2}} \right)}=4m\sqrt{m}=8\sqrt{2}\Leftrightarrow m\sqrt{m}=2\sqrt{2}\Leftrightarrow m=2\,\,\left( tm \right)\)

Chọn B.