Phương pháp giải:

Bước 1. Đưa \(y\) về hàm có dạng \(y = f\left( {c{\rm{os}}\dfrac{x}{2},\,\sin \dfrac{x}{2}} \right).\)

Bước 2. Xét các trường hợp \(\sin \dfrac{x}{2} = 0\) và \(\sin \dfrac{x}{2} \ne 0.\) Với \(\sin \dfrac{x}{2} \ne 0,\) đặt \(t = \cot an\dfrac{x}{2}.\) Đưa hàm đã cho về hàm\(y = \dfrac{{a{t^2} + bt + c}}{{A{t^2} + Bt + C}}\,\,\left( 1 \right).\)

Bước 3. Đưa \(\left( 1 \right)\) về dạng tam thức bậc hai đối với \(t\) và sử dụng điều kiện phương trình bậc hai có nghiệm để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Bước 4. Tính \(M.m.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}y = \dfrac{{\cos x + 2\sin x + 3}}{{2\cos x - \sin x + 4}} = \dfrac{{\left( {\cos x + 1} \right) + 2\sin x + 2}}{{2\left( {\cos x + 1} \right) - \sin x + 2}} = \dfrac{{2{{\cos }^2}\dfrac{x}{2} + 4\sin \dfrac{x}{2}c{\rm{os}}\dfrac{x}{2} + 2\left( {{{\sin }^2}\dfrac{x}{2} + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\dfrac{x}{2}} \right)}}{{4{{\cos }^2}\dfrac{x}{2} - 2\sin \dfrac{x}{2}c{\rm{os}}\dfrac{x}{2} + 2\left( {{{\sin }^2}\dfrac{x}{2} + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\dfrac{x}{2}} \right)}}\\\,\,\, = \dfrac{{2{{\cos }^2}\dfrac{x}{2} + 2\sin \dfrac{x}{2}c{\rm{os}}\dfrac{x}{2} + {{\sin }^2}\dfrac{x}{2}}}{{3{{\cos }^2}\dfrac{x}{2} - \sin \dfrac{x}{2}c{\rm{os}}\dfrac{x}{2} + {{\sin }^2}\dfrac{x}{2}}}.\end{array}\)

Nếu \(\sin \dfrac{x}{2} = 0\) thì \(y = \dfrac{2}{3}.\)

Nếu \(\sin \dfrac{x}{2} \ne 0.\) Ta chia cả tử và mẫu cho \({\sin ^2}\dfrac{x}{2}\) và đặt \(t = \cot an\dfrac{x}{2}\) ta nhận được \(y = \dfrac{{2{t^2} + 2t + 1}}{{3{t^2} - t + 1}},\,\,t \in \left( { - \infty ; + \infty } \right).\)

Khi đó ta có \(y\left( {3{t^2} - t + 1} \right) = 2{t^2} + 2t + 1 \Leftrightarrow \left( {3y - 2} \right){t^2} - \left( {y + 2} \right)t + y - 1 = 0\,\,\left( 2 \right).\)

Với \(y \ne \dfrac{2}{3}\) thì \(\left( 2 \right)\) là phương trình bậc hai đối với biến \(t,\) nên có nghiệm khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\Delta = {\left( {y + 2} \right)^2} - 4\left( {3y - 2} \right)\left( {y - 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow - 11{y^2} + 24y - 4 \ge 0 \Leftrightarrow 11{y^2} - 24y + 4 \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {11y - 2} \right)\left( {y - 2} \right) \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{2}{{11}} \le y \le 2.\end{array}\)

Với \(y = 2\) thay vào phương trình \(\left( 2 \right)\) ta có \(4{t^2} - 4t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2}.\)

Với \(y = \dfrac{2}{{11}}\) thay vào phương trình \(\left( 2 \right)\) ta có \( - \dfrac{{16}}{{11}}{t^2} - \dfrac{{24}}{{11}}t - \dfrac{9}{{11}} = 0 \Leftrightarrow t = - \dfrac{3}{4}.\)

Vậy giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của \(y\) tương ứng là \(M = 2,\,m = \dfrac{2}{{11}}.\) Do đó \(M.m = \dfrac{4}{{11}}.\)

Chọn A.