Phương pháp giải:

Thể tích tứ diện ta đưa về thể tích khối chóp: \(V = \frac{1}{3}B.h\(  trong đó B là diện tích đáy, h là chiều cao

Lời giải chi tiết:

Gọi H là trọng tâm của tam giác BCD ta có \(AH \bot \left( {BCD} \right)\)

Khi đó ta có: \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}AH.{S_{BCD}}\)

Ta có: \({S_{BCD}} = \frac{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{4}\)

Gọi M là giao điểm của BH với CD ta có: \(BM = \frac{{a\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{2}\)

Khi đó ta có: \(BH = \frac{2}{3}BM = \frac{2}{3}.\frac{{3a}}{2} = a\)

Xét tam giác vuông ABH vuông tại H ta có: \(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = 3{a^2} - {a^2} = 2{a^2} \Rightarrow AH = a\sqrt 2 \)

Vậy \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}AH.{S_{BCD}} = \frac{1}{3}a\sqrt 2 .\frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}\)

Chọn đáp án D.