Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{6}SA.BC.\cos \left( {SA;BC} \right).d\left( {SA;BC} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Gọi D và E lần lượt là trung điểm của SA và BC ta có:

\(\Delta SAB = \Delta SAC\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow BD = CD \Rightarrow \Delta DBC\) cân tại D \( \Rightarrow DE \bot BC\)

\(\Delta ABC = \Delta SBC\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow SE = AE \Rightarrow \Delta ESA\) cân tại E nên \(DE \bot SA\)

Do đó DE là đường vuông góc chung của SA và BC nên

\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{6}SA.BC.\cos \left( {SA;BC} \right).d\left( {SA;BC} \right) = \frac{1}{6}xy.DE.\cos \left( {SA;BC} \right)\)

Xét tam giác SAB có \(B{D^2} = \frac{{B{A^2} + B{S^2}}}{2} - \frac{{S{A^2}}}{4} = \frac{{1 + 1}}{2} - \frac{{{x^2}}}{4} = 1 - \frac{{{x^2}}}{4} = C{D^2}\)

Xét tam giác BDE có \(DE = \sqrt {B{D^2} - B{E^2}}  = \sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{4}}  = \frac{{\sqrt {4 - {x^2} - {y^2}} }}{2}\)

Khi đó \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{6}xy\frac{{\sqrt {4 - {x^2} - {y^2}} }}{2}.\cos \left( {SA;BC} \right)\)

Ta có \(xy \le \frac{{{x^2} + {y^2}}}{2},\cos \left( {SA;BC} \right) \le 1 \Rightarrow {V_{S.ABC}} \le \frac{1}{{24}}\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\sqrt {4 - \left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \)

Dấu ‘’=’’ xảy ra khi và chỉ khi x = y, khi đó ta có \({V_{S.ABC}} \le \frac{1}{{12}}{x^2}\sqrt {4 - 2{x^2}} \)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = t\sqrt {4 - 2t} \,\,\left( {0 \le t \le 2} \right)\) ta có  \(f'\left( t \right) = \frac{{\sqrt {4 - 2t}  - t.\frac{1}{{\sqrt {4 - 2t} }}}}{{4 - 2t}} = \frac{{4 - 2t - t}}{{\sqrt {{{\left( {4 - 2t} \right)}^3}} }} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{4}{3} \in \left[ {0;2} \right]\)

\(f\left( 0 \right) = 0,f\left( 2 \right) = 0,f\left( {\frac{4}{3}} \right) = \frac{{8\sqrt 3 }}{9} \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( t \right) = f\left( {\frac{4}{3}} \right) = \frac{{8\sqrt 3 }}{9} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{4}{3} \Rightarrow x = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\).

Vậy thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất khi và chỉ khi \(x = y = \frac{2}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow x + y = \frac{4}{{\sqrt 3 }}.\)

Chọn C.