Phương pháp giải:

+) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó với hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.

+) Thể tích lăng trụ là: \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AA'.AB.AC\) do tam giác ABC vuông cân tại A.

Lời giải chi tiết:

Ta có ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng \( \Rightarrow AA' \bot \left( {ABC} \right).\)

\( \Rightarrow A\) là hình chiếu của A’ trên (ABC)

\( \Rightarrow \) Góc giữa A’B và mặt phẳng (ABC) là góc giữa A’B và AB hay \(\widehat {A'BA} = {60^0}.\)

Xét tam giác A’AB vuông tại B có:

\(\begin{array}{l}AA' = AB.\tan {60^0} = a\sqrt 5 .\sqrt 3  = a\sqrt {15} .\\ \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{1}{2}AA'.AB.AC = \dfrac{1}{2}.a\sqrt {15} .a\sqrt 5 .a\sqrt 5  = \dfrac{{5{a^3}\sqrt {15} }}{2}.\end{array}\)

Chọn B.