Phương pháp giải:

+) SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SO là chiều cao của khối chóp SABCD đồng thời là khối chóp của khối chóp SABC.

+) Công thức tính thể tích: \({V_{SABC}} = \frac{1}{3}.SO.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.SO.\frac{1}{2}.AB.BC = \frac{1}{6}.SO.AB.BC\) (do \(\Delta ABC\) vuông tại B).

+) Sử dụng định lý Pi-ta-go ứng với các tam giác vuông để tính chiều cao SO.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

 \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}}  = 2a.\)

O là tâm hình chữ nhật \( \Rightarrow AO = \frac{1}{2}AC = a.\)

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông SAO vuông tại O ta có:

\(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}}  = \sqrt {9{a^2} - {a^2}}  = 2\sqrt 2 a.\)

\( \Rightarrow {V_{SABC}} = \frac{1}{6}.SO.AB.BC = \frac{1}{6}.2a\sqrt 2 .a.a\sqrt 3  = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}.\)

Chọn C.