Câu hỏi
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a,AD = a\sqrt 3 \) và SA vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right),SC\) hợp với mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) một góc \(\alpha \). Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\). Biết \(\cos \alpha = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
- A \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)
- B \(V = \dfrac{{{a^3}}}{3}\)
- C \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
- D \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)
Phương pháp giải:
Dựa vào dữ kiện tìm kích thước hình chóp
Lời giải chi tiết:
Cách giải:
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SA\\CD \bot DA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {SC,\left( {SAD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC,SD} \right)} = \widehat {CSD} = \alpha \)
\(\sin \alpha = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow SC = \dfrac{{CD}}{{\sin \widehat {SCD}}} = \dfrac{{CD}}{{\sin \alpha }} = a\sqrt 5 \Rightarrow SA = \sqrt {S{C^2} - A{C^2}} = a \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.SA.AB.AD = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}{a^3}\)
Chọn C.
Câu hỏi trước
