Phương pháp giải:

+) Hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

+) Hàm số đồng biến \( \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in D\) và chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm thuộc D, với D là tập xác định của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: \(D = R\backslash \left\{ { - \frac{4}{m}} \right\};\,\,\,m \ne 0.\)

Ta có: \(y' = \frac{{4 - {m^2}}}{{{{\left( {mx + 4} \right)}^2}}}.\)

\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên D \( \Leftrightarrow 4 - {m^2} \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} \le 4 \Leftrightarrow  - 2 \le m \le 2.\)

+) Với \(m =  - 2\), hàm số có dạng: \(y = \frac{{x - 2}}{{ - 2x + 4}} =  - \frac{1}{2}\) là hàm hằng \( \Rightarrow m =  - 2\) không thỏa mãn.

+) Với \(m = 2\), hàm số có dạng: \(y = \frac{{x + 2}}{{2x + 4}} = \frac{1}{2}\) là hàm hằng \( \Rightarrow m = 2\) không thỏa mãn.

+) Với \(m = 0,\) hàm số có dạng: \(y = x\) đồng biến trên R.

Vậy các giá trị nguyên của m thỏa mãn là: \(m \in \left\{ { - 1;0;\,\,1} \right\}.\)

Chọn C.