Phương pháp giải:

Xét các trường hợp của tham số, lập bảng biến thiên để tìm max – min trên đoạn

Lời giải chi tiết:

Lời giải:

Xét hàm số \(y=\frac{mx+1}{x+{{m}^{2}}}\) trên đoạn \(\left( 2;3 \right),\) có \({y}'=\frac{{{m}^{3}}-1}{\left( x+{{m}^{2}} \right)};\,\,\forall x\in \left( 2;3 \right).\)

TH1. Với \({{m}^{3}}-1>0\Leftrightarrow m>1,\) khi đó \({y}'>0;\,\,\forall x\in \left( 2;3 \right)\)\(\Rightarrow \underset{\left( 2;3 \right)}{\mathop{\max }}\,y=y\left( 3 \right)=\frac{3m+1}{3+{{m}^{2}}}=\frac{5}{6}\Rightarrow m=3.\)

TH2. Với \({{m}^{3}}-1<0\Leftrightarrow m<1,\) khi đó \({y}'<0;\,\,\forall x\in \left( 2;3 \right)\)\(\Rightarrow \underset{\left( 2;3 \right)}{\mathop{\max }}\,y=y\left( 2 \right)=\frac{2m+1}{2+{{m}^{2}}}=\frac{5}{6}\Rightarrow m=\frac{2}{5}.\)

Vậy có hai giá trị cần tìm là \({{m}_{1}}=3;\,\,{{m}_{2}}=\frac{2}{5}.\)

Chọn A