Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đưa về khảo sát hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Lời giải:

Điểm \(M\left( a;b \right)\in \left( H \right)\Rightarrow M\left( a;\frac{2a+1}{a+2} \right)\)\(\Rightarrow \)\(d\left( M;\left( d \right) \right)=\frac{\left| 3a-\frac{2a+1}{a+2}+6 \right|}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.\left| \frac{3{{a}^{2}}+10a+11}{a+2} \right|.\)

Xét hàm số \(f\left( a \right)=\frac{3{{a}^{2}}+10a+11}{a+2}\) với \(a\ne -\,2,\) có \({f}'\left( a \right)=\frac{3\left( {{a}^{2}}+4a+3 \right)}{{{\left( a+2 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & a=-\,1 \\ & a=-\,3 \\\end{align} \right..\)

Tính các giá trị \(f\left( -1 \right)=4;\,\,f\left( -\,3 \right)=-\,8\) và \(\underset{x\,\to \,-\,2}{\mathop{\lim }}\,f\left( a \right)=\infty ;\,\,\underset{x\,\to \,\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( a \right)=\infty \)

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số \(\left| f\left( a \right) \right|\) bằng \(4\,\,\Leftrightarrow \,\,a=-\,1.\)

Vậy \(\left\{ \begin{align}  & a=-\,1 \\ & b=-\,1 \\\end{align} \right.\Rightarrow a+b=-\,2.\)

Chọn C