Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân \({{S}_{n}}=\frac{{{u}_{1}}\left( {{q}^{n}}-1 \right)}{q-1}\)

Áp dụng khai triển nhị thức Newton \({{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{k}}{{b}^{n-k}}}\)

Sử dụng tổng \({{\left( 1+1 \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}={{2}^{n}}\)

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

\(\begin{align}  & p\left( x \right)={{\left( 1+x \right)}^{8}}+{{\left( 1+x \right)}^{9}}+{{\left( 1+x \right)}^{10}}+{{\left( 1+x \right)}^{11}}+{{\left( 1+x \right)}^{12}} \\ & =\frac{{{\left( 1+x \right)}^{8}}\left[ {{\left( 1+x \right)}^{5}}-1 \right]}{1+x-1}=\frac{{{\left( 1+x \right)}^{13}}-{{\left( 1+x \right)}^{8}}}{x}=\frac{{{\left( 1+x \right)}^{13}}}{x}-\frac{{{\left( 1+x \right)}^{8}}}{x} \\ & =\frac{\sum\limits_{m=0}^{13}{C_{13}^{m}{{x}^{m}}}}{x}-\frac{\sum\limits_{n=0}^{8}{C_{8}^{n}{{x}^{n}}}}{x}=\sum\limits_{m=0}^{13}{C_{13}^{m}{{x}^{m-1}}}-\sum\limits_{n=0}^{8}{C_{8}^{n}{{x}^{n-1}}} \\ & \Rightarrow {{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{12}}=\left( C_{13}^{1}-C_{8}^{1} \right)+\left( C_{13}^{2}-C_{8}^{2} \right)+...+\left( C_{13}^{8}-C_{8}^{8} \right)+C_{13}^{9}+...+C_{13}^{13} \\ & =\sum\limits_{a=1}^{13}{C_{13}^{a}}-\sum\limits_{b=1}^{8}{C_{8}^{b}} \\\end{align}\)

Xét tổng

\(\begin{align}  & {{\left( 1+1 \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}={{2}^{n}} \\ & \Rightarrow \sum\limits_{a=1}^{13}{C_{13}^{a}}={{2}^{13}}-C_{13}^{0}={{2}^{13}}-1 \\ & \sum\limits_{b=1}^{8}{C_{8}^{a}}={{2}^{8}}-C_{8}^{0}={{2}^{8}}-1 \\ & \Rightarrow {{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{12}}={{2}^{13}}-1-{{2}^{8}}+1=7936 \\\end{align}\)

Chọn B.