Phương pháp giải:

Áp dụng công thức khai triển tổng quát: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} .{a^{n - k}}.{b^k}\) .

Đối với bài toán này ta áp dụng công thức \({\left( {1 + x} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {.1^{n - k}}.{x^k}\). Sau đó dựa vào khai triền bài toán cho \(P\left( x \right) = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_{12}}{x^{12}}\) ta tìm được hệ số \({a_8}\) (đi theo \({x^8}\) )

Lời giải chi tiết:

+) \({\left( {1 + x} \right)^8} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} {.1^{8 - k}}.{x^k} \Rightarrow {a_8} = C_8^8\)

+) \({\left( {1 + x} \right)^9} = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} {.1^{9 - k}}.{x^k} \Rightarrow {a_8} = C_9^8\)

+) \({\left( {1 + x} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {.1^{10 - k}}.{x^k} \Rightarrow {a_8} = C_{10}^8\)

+) \({\left( {1 + x} \right)^{11}} = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k} {.1^{11 - k}}.{x^k} \Rightarrow {a_8} = C_{11}^8\)

+) \({\left( {1 + x} \right)^{12}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {.1^{12 - k}}.{x^k} \Rightarrow {a_8} = C_{12}^8\)

Vậy Hệ số cần tìm là: \({a_8} = C_8^8 + C_9^8 + C_{10}^8 + C_{11}^8 + C_{12}^8 = 1 + 9 + 45 + 165 + 495 = 715\)