Phương pháp giải:

Gọi độ dài \(MC = x\), viết biểu thức tính độ đài quãng đường đi từ \(A\) đến \(M\) rồi từ \(M\) đến \(B\) theo ẩn \(x\).

Xét hàm số \(y = f\left( x \right)\) vừa có ở trên và tìm GTNN.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(CM = x\left( {x > 0} \right)\)

Dễ tính ra \(CD = AH = \sqrt {{{615}^2} - {{\left( {487 - 118} \right)}^2}}  = 492\)

Từ đề bài ta có: \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + {{118}^2}}  + \sqrt {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} \)

Quãng đường ngắn nhất người đó có thể đi là giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {0;492} \right]\)

Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{2{\rm{x}}}}{{2\sqrt {{x^2} + {{118}^2}} }} - \frac{{2\left( {492 - x} \right)}}{{2\sqrt {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} }}\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow x\sqrt {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}}  - \left( {492 - x} \right)\sqrt {{x^2} + {{118}^2}}  = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {492 - x} \right)^2}\left( {{x^2} + {{118}^2}} \right) = {x^2}\left( {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{58056}}{{605}} \in \left[ {0;492} \right]\\x =  - \frac{{472}}{3} \notin \left[ {0;492} \right]\end{array} \right.\)

Ta có bảng biến thiên

Vậy quãng đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là 779,8.