Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ \(t = {x^2}\) đưa phương trình thành phương trình bậc hai ẩn\(t\).

- Phương trình đã cho có \(4\) nghiệm phân biệt thì phương trình bậc hai ẩn \(t\) có hai nghiệm dương phân biệt.

- Sử dụng định lý Vi-et để tìm \(m\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \({x^2} = t\left( {t \ge 0} \right)\)

Phương trình \({x^4} - 2\left( {2m + 1} \right){x^2} + 4{m^2} = 0\) có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 6\)

\( \Leftrightarrow {t^2} - 2\left( {2m + 1} \right)t + 4{m^2} = 0\) có hai nghiệm phân biệt dương thỏa mãn \(2{t_1} + 2{t_2} = 6\) hay \({t_1} + {t_2} = 3\).

\(\left\{ \begin{array}{l}4{m^2} > 0\\2m + 1 > 0\\{\left( {2m + 1} \right)^2} - 4{m^2} > 0\end{array} \right.\) và \(2\left( {2m + 1} \right) = 3\)\( \Leftrightarrow m = \frac{1}{4}\)