Phương pháp giải:

Đường thẳng \(d\) cắt đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị có hai nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm, ta có phương trình \(\frac{{2{\rm{x}} + 3}}{{x + 2}} = x + m\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + m{\rm{x}} + 2m - 3 = 0\left( {x \ne  - 2} \right)\)

Đường thẳng \(d\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt

\( \Leftrightarrow {x^2} + m{\rm{x}} + 2m - 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác \( - 2\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4\left( {2m - 3} \right) > 0\\{\left( { - 2} \right)^2} + m\left( { - 2} \right) + 2m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 8m + 12 > 0\\1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 6\\m < 2\end{array} \right.\)