Phương pháp giải:

- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\) bất kỳ thuộc \(\left( C \right)\):

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = f\left( x \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0},{y_0}} \right) \in \left( C \right)\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

- Tiếp tuyến đi qua điểm \(O\) nếu tọa độ của \(O\) thỏa mãn phương trình tiếp tuyến.

- Số nghiệm \({x_0}\) của phương trình chính là số điểm \(M\) cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) có tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ O

Ta có: \(y' = 4{{\rm{x}}^3} - 4{\rm{x}}\)

Ta có phương trình đường thẳng tiếp tuyến tại điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

\(y = \left( {4{\rm{x}}_0^3 - 4{{\rm{x}}_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)\( \Leftrightarrow y = \left( {4{\rm{x}}_0^3 - 4{{\rm{x}}_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {x_0}^4 - 2x_0^2\)

Thay \(\left( {0;0} \right)\) vào phương trình trên ta được:

\(\begin{array}{l}0 = \left( {4{\rm{x}}_0^3 - 4{{\rm{x}}_0}} \right)\left( {0 - {x_0}} \right) + {x_0}^4 - 2x_0^2\\ \Leftrightarrow  - 3x_0^4 + 2x_0^2 = 0 \Leftrightarrow x_0^2\left( { - 3x_0^2 + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} =  \pm \sqrt {\frac{2}{3}}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có ba điểm có tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ.