Phương pháp giải:

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(\left( C \right)\).

Xác định các đường tiệm cận đứng, ngang của đồ thị hàm số.

Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(ax + by + c = 0\) là \(d = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là \(y = 1\)

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là \(x = 3\)

Giả sử \(M\left( {{x_0};\frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} - 3}}} \right)\)

Từ đề bài ta có phương trình

\(5\left| {{x_0} - 3} \right| = \left| {\dfrac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} - 3}} - 1} \right| \Leftrightarrow 5\left| {{x_0} - 3} \right| = \left| {\dfrac{5}{{{x_0} - 3}}} \right| \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 3} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 =  - 1\\x - 3 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = 4\end{array} \right.\)

Vậy ta có hai điểm thỏa mãn đề bài là \(\left( {2; - 4} \right)\) và \(\left( {4;6} \right)\)