Phương pháp giải:

+ Rút gọn điều kiện của bài toán bằng phương pháp hàm đặc trưng

+ Đặt ẩn phụ u = xy và khảo sát hàm số

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{2017^{1 - x - y}} = \frac{{{x^2} + 2018}}{{{y^2} - 2y + 2019}} \Leftrightarrow 1 - x - y = {\log _{2017}}\left( {{x^2} + 2018} \right) - {\log _{2017}}\left( {{y^2} - 2y + 2019} \right)\\ \Leftrightarrow 1 - y + {\log _{2017}}\left[ {{{\left( {1 - y} \right)}^2} + 2018} \right] = x + {\log _{2017}}\left( {{x^2} + 2018} \right){\rm{ }}\left( * \right)\end{array}\)

Xét\(f\left( t \right) = t + {\log _{2017}}\left( {{t^2} + 2018} \right) \Rightarrow f'\left( t \right) = 1 + \dfrac{{2t}}{{\left( {{t^2} + 2018} \right)\ln 2017}} > 0,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\)

\(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {1 - y} \right) = f\left( x \right) \Leftrightarrow x + y = 1\)

\(S = 16{x^2}{y^2} + 12\left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 34xy = 16{x^2}{y^2} + 12\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^3} - 3xy\left( {x + y} \right)} \right] + 34xy = 16{x^2}{y^2} - 2xy + 12\)

Đặt u = xy, ta có \(0 \le u = xy \le \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{1}{4}\)

Xét \(g\left( u \right) = 16{u^2} - 2u + 12\) trên \(\left[ {0;\dfrac{1}{4}} \right]\). Ta có \(g'\left( u \right) = 32u - 2 = 0 \Leftrightarrow u = \dfrac{1}{{16}}\)

\(\begin{array}{l}g\left( 0 \right) = 12;g\left( {\frac{1}{{16}}} \right) = \frac{{191}}{{16}};g\left( {\frac{1}{4}} \right) = \frac{{25}}{2} \Rightarrow \max S = \frac{{25}}{2};\min S = \frac{{191}}{{16}}\\ \Rightarrow M + m = \frac{{391}}{{16}}\end{array}\)

Chọn đáp án B