Câu hỏi
Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng 2 và hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H nằm trong tam giác ABC sao cho \(\widehat {AHB} = 150^\circ ;\widehat {BHC} = 120^\circ ;\widehat {CHA} = 90^\circ \). Biết tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.HAB, S.HBC, S.HCA là \(\dfrac{{124}}{3}\pi \). Tính thể tích khối chóp S.ABC.
- A \({V_{S.ABC}} = \dfrac{9}{2}\)
- B \({V_{S.ABC}} = \dfrac{4}{3}\)
- C \({V_{S.ABC}} = 4{a^3}\)
- D \({V_{S.ABC}} = 4\)
Phương pháp giải:
+ Sử dụng định lý sin để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác AHB, BHC, CHA
+ Tính SH
+ Tính thể tích hình chóp
Lời giải chi tiết:
Gọi \({R_1},{R_2},{R_3}\) lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ AHB, ∆ BHC, ∆ CHA. Theo định lý sin, ta có.
\(AB = 2{R_1}\sin \widehat{ AHB} \Rightarrow {R_1} = \dfrac{{AB}}{{2\sin \widehat{ AHB}}} = 2\)
Tương tự ta có
\(\begin{array}{l}{R_2} = \dfrac{{BC}}{{2\sin \widehat{ BHC}}} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\\{R_3} = \dfrac{{CA}}{{2\sin \widehat{ CHA}}} = 1\end{array}\)
Gọi \({r_1},{r_2},{r_3}\) lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện SAHB, SBHC, SCHA
Ta chứng minh được \(r_1^2 = R_1^2 + {\left( {\dfrac{{SH}}{2}} \right)^2}\) và 2 đẳng thức tương tự, suy ra \(r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 = R_1^2 + R_2^2 + R_3^2 + \dfrac{{3S{H^2}}}{4}\)
Theo bài ra ta có \(4\pi \left( {r_1^2 + r_2^2 + r_3^2} \right) = \dfrac{{124}}{3}\pi \Rightarrow r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 = \dfrac{{31}}{3}\)
\( \Rightarrow S{H^2} = \dfrac{4}{3}\left( {r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 - R_1^2 - R_2^2 - R_3^2} \right) = \dfrac{{16}}{3} \Rightarrow SH = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}\)
\({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{{2^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{4}{3}\)
Chọn đáp án B
Câu hỏi trước
