Câu hỏi
Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). \(AB = a;AC = a\sqrt 2 ,\angle BAC = 45^\circ \). Gọi B1, C1 lần lượt là hình chiều vuông góc của A lên SB, SC. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCC1B1
- A \(V = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{3}\)
- B \(V = \pi {a^3}\sqrt 2 \)
- C \(V = \dfrac{4}{3}\pi {a^3}\)
- D \(V = \dfrac{{\pi {a^3}}}{{\sqrt 2 }}\)
Phương pháp giải:
+ Chứng minh ∆ ABC vuông cân tại B
+ Chứng minh trung điểm I của AC là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp A.BCC1B1
Lời giải chi tiết:
Tam giác ABC có \(AB = a,AC = a\sqrt 2 ,\widehat {BAC} = 45^\circ \) nên theo định lý cosin ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos 45^\circ = {a^2} \Rightarrow BC = a\)
Suy ra ∆ ABC vuông cân tại B
Gọi I là trung điểm AC, ta có IA = IC = IB
Vì AC1 ⊥ SC nên IA = IC = IC1
VÌ BC ⊥ SA, BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB1, mà AB1 ⊥ SB ⇒ AB1 ⊥ (SBC) ⇒ AB1 ⊥ B1C
⇒ IA = IC = IB1
Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp A.BCC1B1
Bán kính và thể tích khối cầu đó lần lượt là
\(\begin{array}{l}R = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\\V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{3}\end{array}\)
Chọn đáp án A
Câu hỏi trước
