Phương pháp giải:

Giải phương trình hoành độ giao điểm để tìm các cận.

Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=f\left( x \right),x=a,x=b\) quanh trục Ox là: \(V=\pi .\int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)\text{d}x}.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(Ox\) là \(\ln x=0\Leftrightarrow x=1.\)

Khi đó, thể tích cần tính là \(V=\pi \int\limits_{1}^{e}{{{\ln }^{2}}x\,\text{d}x}=\pi \left( x{{\ln }^{2}}x \right)\left| \begin{align}  & ^{e} \\ & _{1} \\\end{align} \right.-\pi \int\limits_{1}^{e}{x\,\text{d}\left( {{\ln }^{2}}x \right)}.\)

Đặt 

\(\left\{ \begin{array}{l}u = {\ln ^2}x\\dv = dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2\frac{{\ln x}}{x}dx\\v = x\end{array} \right. \Rightarrow V = \pi \left[ {\left. {x{{\ln }^2}x} \right|_1^e - 2\int\limits_1^e {\ln xdx} } \right] = \pi \left[ {e - 2\int\limits_1^e {\ln xdx} } \right]\)

Đặt 

\(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{x}\\v = x\end{array} \right. \Leftrightarrow \int\limits_1^e {\ln xdx} = \left. {x\ln x} \right|_1^e - \int\limits_1^e {dx} = \left. {x\ln x} \right|_1^e - \left. x \right|_1^e = e - e + 1 = 1\)

Vậy \(I=\pi \left( e-2 \right)\Rightarrow a=2\)

Chọn A.