Phương pháp giải:

Biến đổi công thức lượng giác, đưa phương trình bài cho về dạng phương trình cơ bản, kết hợp với điều kiện nghiệm để tìm giá trị của tham số \(m\)

Lời giải chi tiết:

Với \(x\in \left( 0;\frac{\pi }{6} \right)\) suy ra \(t=\sin x\in \left( 0;\frac{1}{2} \right)\) (vì \(\sin x\) là hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( 0;\frac{\pi }{6} \right)\)).

Ta có \(\left( \sin x+1 \right)\left( \sin 2x-m\sin x \right)=m{{\cos }^{2}}x \) \(\Leftrightarrow \left( \sin x+1 \right)\left( \sin 2x-m\sin x \right)=m\left( 1-\sin x \right)\left( 1+\sin x \right)\)

\(\Leftrightarrow \sin 2x-m\sin x=m\left( 1-\sin x \right) \) \(\Leftrightarrow \sin 2x-m\sin x=m-m\sin x\) \(\Leftrightarrow m=f\left( x \right)=\sin 2x.\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)=\sin 2x\) trên khoảng \(\left( 0;\frac{\pi }{6} \right)\) suy ra \(\left\{ \begin{align}  & \min f\left( x \right)=f\left( 0 \right)=0 \\ & \max f\left( x \right)=f\left( 2.\frac{\pi }{6} \right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \\\end{align} \right..\)

Do đó, để phương trình \(m=f\left( x \right)\) có nghiệm \(\Leftrightarrow \,\,0<m<\frac{\sqrt{3}}{2}.\) Vậy \(S=\left( 0;\frac{\sqrt{3}}{2} \right).\)

Chọn A