Phương pháp giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm, đưa phương trình về phương trình bậc hai và sử dụng công thức tính khoảng cách, định lý Vi-et cho phương trình bậc hai để tìm \(m\).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = x + m - 1\left( {x \ne - 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 2} \right)x + m - 2 = 0\left( * \right)\end{array}\)

Đường thẳng \(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(\Leftrightarrow \) phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(-1\) .

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( {m - 2} \right)^2} - 4\left( {m - 2} \right) > 0\\{\left( { - 1} \right)^2} + \left( {m - 2} \right).\left( { - 1} \right) + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 2} \right)\left( {m - 6} \right) > 0\\1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 6\\m < 2\end{array} \right.\)

Khi đó \(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại \(A\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}+m-1 \right),B\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}+m-1 \right)\).

\(\begin{array}{l}AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}} = 2\sqrt 3 \\ \Leftrightarrow 2{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} = 12 \Leftrightarrow x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2 = 6 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 6\end{array}\)

Áp dụng định lý Vi-et \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m+2 \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m-2 \\ \end{align} \right.\)  ta có:

\({\left( {m - 2} \right)^2} - 4\left( {m - 2} \right) - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 2 = 2 + \sqrt {10} \\m - 2 = 2 - \sqrt {10} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4 + \sqrt {10} \\m = 4 - \sqrt {10} \end{array} \right.\) (TMĐK)

Vậy \(m=4\pm \sqrt{10}\).

Chọn B.