Phương pháp giải:

- Xác định góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng.

- Tính thể tích của khối lăng trụ theo công thức : \(V=S.h\), với S là diện tích đáy, h là độ dài đường cao.

Lời giải chi tiết:

Gọi H là hình chiếu của A trên BC \(\Rightarrow AH\bot BC\).

Ta có \(AA'\bot (ABC)\Rightarrow AA'\bot BC\), mà \(AH\bot BC\Rightarrow BC\bot (AA'H)\Rightarrow \left( \widehat{(ABC);(A'BC)} \right)=\widehat{A'HA}={{60}^{0}}\)

Diện tích tam giác A’BC là \({{S}_{A'BC}}=\dfrac{1}{2}A'H.BC\Rightarrow A'H=\dfrac{2{{S}_{A'BC}}}{BC}=\dfrac{4{{a}^{2}}}{2a}=2a.\)

\(\begin{array}{l}\sin \widehat {A'HA} = \dfrac{{AA'}}{{A'H}} \Rightarrow AA' = \sin {60^0}.2a = a\sqrt 3 \\AH = \sqrt {A'{H^2} - A'{A^2}}  = \sqrt {4{a^2} - {{(a\sqrt 3 )}^2}}  = a\\ \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = {a^2}\end{array}\)

Thể tích lăng trụ là: \({{V}_{ABC.A'B'C'}}=AA'.{{S}_{\Delta ABC}}={{a}^{3}}\sqrt{3}.\) 

Chọn C.