Phương pháp giải:

- Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng đinh nghĩa: Khoảng cách giữ hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đường vuông góc chung của hai đường thẳng.

- Thể tích khối lăng trụ \(V=Sh\).

Lời giải chi tiết:

Gọi D là trung điểm của BC, H là chân dường cao kẻ từ \(A’\) đến (ABC), và kẻ K là chân đường cao kẻ từ H đến \(AA'\).

Gọi M là hình chiếu của D lên AA’ thì \(DM\bot AA’\).

Mà \(CB\bot \left( AHA' \right)\Rightarrow BC\bot DM\Rightarrow d\left( A'A,BC \right)=DM\)

Lại có

 \(\begin{array}{l}KH//DM \Rightarrow \frac{{HK}}{{DM}} = \frac{{AH}}{{AD}} = \frac{2}{3}\\ \Rightarrow HK = \frac{2}{3}DM = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{4} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\end{array}\)

Ta có: \(AH=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

Xét tam giác vuông \(AHA’\) ta có:

\(\frac{1}{A'H}=\sqrt{\frac{1}{H{{K}^{2}}}-\frac{1}{A{{H}^{2}}}}=\sqrt{\frac{12}{{{a}^{2}}}-\frac{3}{{{a}^{2}}}}=\frac{3}{a}\Rightarrow A'H=\frac{a}{3}\)

\(\Rightarrow {{V}_{ABC.A'B'C'}}={{S}_{A'B'C'}}.A'H=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\frac{a}{3}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}.\)

Đáp án D