Phương pháp giải:

Giải bất phương trình \({{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+2xy\le 32\) với ẩn \(x+y\) để tìm điều kiện của \(x+y\).

Biến đổi biểu thức \(A\) thành đa thức bậc ba ẩn \(x+y\), đặt ẩn phụ \(t=x+y\) rồi xét hàm số, chú ý điều kiện \(x+y\) tìm được ở trên.

Lời giải chi tiết:

\({{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+2xy\le 32\Leftrightarrow {{\left( x+y \right)}^{2}}-8\left( x+y \right)\le 0\Leftrightarrow 0\le x+y\le 8\).

\(A={{\left( x+y \right)}^{3}}-3\left( x+y \right)-6xy+6\ge {{\left( x+y \right)}^{3}}-\frac{3}{2}{{\left( x+y \right)}^{2}}-3\left( x+y \right)+6\)

(do \({{\left( x+y \right)}^{2}}\ge 4xy\Rightarrow xy\le \frac{{{\left( x+y \right)}^{2}}}{4}\Rightarrow -6xy\ge -\frac{3}{2}{{\left( x+y \right)}^{2}}\) )

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{t}^{3}}-\frac{3}{2}{{t}^{2}}-3t+6\) trên đoạn \(\left[ 0,8 \right]\), ta có

\(f'\left( t \right)=3{{t}^{2}}-3t-3,f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\) (giá trị \(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\notin \left[ 0;8 \right]\) nên loại)

Thực hiện tính toán ta có: \(f\left( 0 \right)=6,f\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)=\frac{17-5\sqrt{5}}{4},f\left( 8 \right)=398\Rightarrow A\ge f\left( t \right)\ge \frac{17-5\sqrt{5}}{4}\Rightarrow A\ge \frac{17-5\sqrt{5}}{4}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là \(\frac{17-5\sqrt{5}}{4}\)  xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{4}\)

Đáp án C