Câu hỏi
Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+6\), giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\left[ 0;3 \right]\) bằng 2 khi
- A \(m=2\)
- B \(m=\frac{31}{27}\)
- C \(m>\frac{3}{2}\)
- D \(m=1\)
Phương pháp giải:
- Tính \(y'\) và tìm nghiệm của \(y'=0\).
- Biện luận các trường hợp điểm \(x=3\) nằm trong, nằm ngoài khoảng 2 nghiệm để suy ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D=R\)
\(y'=3{{x}^{2}}-6mx.\)
Ta có: \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \to y = 6\\x = 2m \to y = - 4{m^3} + 6\end{array} \right.\)
Xét TH1: m = 0. Hàm số đồng biến trên \(\left[ 0;3 \right].\) \(\Rightarrow \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{Min}}\,y=y\left( 0 \right)=6\to \) loại.
Xét TH2: \(m\ge \frac{3}{2}\Rightarrow 2m>3>0\). Khi đó, hàm số nghịch biến trên \(\left[ 0;3 \right]\subset \left[ 0;2m \right]\)\(\Rightarrow \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{Min}}\,y=y\left( 3 \right)=33-27m=2\to m=\frac{31}{27}<\frac{3}{2}\)(loại)
Xét TH3: \(\frac{3}{2}>m>0\Rightarrow 3>2m>0\) thì đồ thị hàm số có điểm cực đại là \(\left( 0;6 \right)\) và điểm cực tiểu là \(\left( 2m,-4{{m}^{3}}+6 \right).\)
Khi đó , GTNN trên \(\left[ 0;3 \right]\) là \(y\left( 2m \right)=-4{{m}^{3}}+6\)
\(\Rightarrow -4{{m}^{3}}+6=2\Leftrightarrow {{m}^{3}}=1\Leftrightarrow m=1\) (thỏa mãn)
Xét TH4: \(m<0\to \left( 0;6 \right)\) là điểm cực tiểu và trên \(\left[ 0;3 \right]\)hàm số đồng biến.
\(\Rightarrow {{y}_{\min }}=6\to \) loại.
Vậy \(m=1\) là giá trị cần tìm.
Đáp án D.