Phương pháp giải:

- Tính \(y'\) và tìm nghiệm của \(y'=0\).

- Biện luận các trường hợp điểm \(x=3\) nằm trong, nằm ngoài khoảng 2 nghiệm để suy ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D=R\)

\(y'=3{{x}^{2}}-6mx.\)

Ta có: \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \to y = 6\\x = 2m \to y =  - 4{m^3} + 6\end{array} \right.\)

Xét TH1: m = 0. Hàm số đồng biến trên \(\left[ 0;3 \right].\) \(\Rightarrow \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{Min}}\,y=y\left( 0 \right)=6\to \) loại.

Xét TH2: \(m\ge \frac{3}{2}\Rightarrow 2m>3>0\). Khi đó, hàm số nghịch biến trên \(\left[ 0;3 \right]\subset \left[ 0;2m \right]\)\(\Rightarrow \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{Min}}\,y=y\left( 3 \right)=33-27m=2\to m=\frac{31}{27}<\frac{3}{2}\)(loại)

Xét TH3: \(\frac{3}{2}>m>0\Rightarrow 3>2m>0\) thì đồ thị hàm số có điểm cực đại là \(\left( 0;6 \right)\) và điểm cực tiểu là \(\left( 2m,-4{{m}^{3}}+6 \right).\)

Khi đó , GTNN trên \(\left[ 0;3 \right]\) là \(y\left( 2m \right)=-4{{m}^{3}}+6\)

\(\Rightarrow -4{{m}^{3}}+6=2\Leftrightarrow {{m}^{3}}=1\Leftrightarrow m=1\) (thỏa mãn)

Xét TH4: \(m<0\to \left( 0;6 \right)\) là điểm cực tiểu và trên \(\left[ 0;3 \right]\)hàm số đồng biến.

\(\Rightarrow {{y}_{\min }}=6\to \) loại.

Vậy \(m=1\) là giá trị cần tìm.

Đáp án D.