Phương pháp giải:

Biến đổi hàm số về hàm số bậc hai đối với \(\cos x\), đặt \(\cos x=t\) và tìm GTLN, GTNN của hàm số với chú ý \(t\in \left[ -1;1 \right]\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y=2{{\sin }^{2}}x-\cos x+1\) \(=2\left( 1-{{\cos }^{2}}x \right)-\cos x+1=-2{{\cos }^{2}}x-\cos x+3\)

Đặt \(t=\cos x\left( -1\le t\le 1 \right)\)

\(y\left( t \right)=-2{{t}^{2}}-t+3\) \(\Rightarrow y'\left( t \right)=-4t-1\)

\(y'\left( 0 \right)=0\Leftrightarrow t=\frac{-1}{4}\in \left[ -1;1 \right]\)

\(\Rightarrow M=\max y=y\left( \frac{-1}{4} \right)=\frac{25}{8};m=\min y=y\left( 1 \right)=0\Rightarrow M+m=\frac{25}{8}\)

Đáp án C.