Câu hỏi
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(y=2{{\sin }^{2}}x-\cos x+1.\) Giá trị \(M+m\) bằng:
- A 0
- B 2
- C \(\frac{25}{8}\)
- D \(\frac{41}{8}\)
Phương pháp giải:
Biến đổi hàm số về hàm số bậc hai đối với \(\cos x\), đặt \(\cos x=t\) và tìm GTLN, GTNN của hàm số với chú ý \(t\in \left[ -1;1 \right]\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(y=2{{\sin }^{2}}x-\cos x+1\) \(=2\left( 1-{{\cos }^{2}}x \right)-\cos x+1=-2{{\cos }^{2}}x-\cos x+3\)
Đặt \(t=\cos x\left( -1\le t\le 1 \right)\)
\(y\left( t \right)=-2{{t}^{2}}-t+3\) \(\Rightarrow y'\left( t \right)=-4t-1\)
\(y'\left( 0 \right)=0\Leftrightarrow t=\frac{-1}{4}\in \left[ -1;1 \right]\)
\(\Rightarrow M=\max y=y\left( \frac{-1}{4} \right)=\frac{25}{8};m=\min y=y\left( 1 \right)=0\Rightarrow M+m=\frac{25}{8}\)
Đáp án C.