Phương pháp giải:

Xét hàm số \(f(x)=3\left( \sqrt{1+x}+\sqrt{3-x} \right)-2\sqrt{1+x}\sqrt{3-x}\) tìm GTNN \(\min f\left( x \right)\) trên \(\left[ -1;3 \right]\).

Bất phương trình \(f\left( x \right)\ge m\) nghiệm đúng với mọi \(x\in \left[ -1;3 \right]\) nếu \(\underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\ge m\).

Lời giải chi tiết:

\(f(x)=3\left( \sqrt{1+x}+\sqrt{3-x} \right)-2\sqrt{1+x}\sqrt{3-x}\)

\(\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{3}{2\sqrt{1+x}}-\frac{3}{2\sqrt{3-x}}-\frac{4\left( -x+1 \right)}{2\sqrt{1+x}\sqrt{3-x}}=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{12\left( 1-x \right)}{\sqrt{3-x}\sqrt{x+1}}+\frac{4\left( -x+1 \right)}{2\sqrt{1+x}\sqrt{3-x}}=0\)

Giải phương trình trên ta thu được nghiệm duy nhất x = 1.

Lại có \(f(1)=6\sqrt{2}-4,f(-1)=f(3)=6,\) do đó hàm số đạt cực tiểu tại x  = 1.

Từ đây ta suy ra với \(m\le 6\sqrt{2}-4\) thì bất phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi \(x\in \left[ -1;3 \right]\)

Đáp án A