Câu hỏi
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc \({{60}^{\circ }}\), M là trung điểm của BC. Tính thể tích hình chóp S.ABMD
- A \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}\)
- B \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}\)
- C \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}\)
- D \({{a}^{3}}\sqrt{3}\)
Phương pháp giải:
Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SCD \right)\) và \(\left( ABCD \right)\) là \(\widehat{SDA}\) bằng cách sử dụng định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến.
Công thức tính thể tích khối chóp \(V=\frac{1}{3}S.h\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot CD\).
Mà \(AD\bot CD\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow CD\bot SD\).
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\AD \bot CD\\SD \bot CD\end{array} \right.\) nên góc giữa \(\left( SCD \right)\) và \(\left( ABCD \right)\) là \(\widehat{SDA}={{60}^{0}}\).
Ta có: \(h=a.\tan {{60}^{\circ }}=a\sqrt{3}\)
\({{S}_{ABMD}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{\Delta DCM}}={{a}^{2}}-\frac{1}{2}a.\frac{a}{2}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}\)
\(\Rightarrow {{V}_{S.ABMD}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABMD}}.h=\frac{1}{3}.\frac{3{{a}^{2}}}{4}.a\sqrt{3}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}.\)
Đáp án A.
Câu hỏi trước
